本教案配套「K-Means 聚类 · 岗位实习企业分群」资源包。课堂的主线不是推公式，而是让学生亲眼看见一个没有标准答案的算法怎么自己收敛。演示页支持单步执行，建议全程投屏，按学生的反应控制节奏。

一、这节课要让学生带走什么

学完这节课，学生应当能做到三件事：用自己的话说清 K-Means 的两步循环；对一份二维数据判断该分几类并说出依据；指出这个算法在什么情况下会给出不可靠的结果。

不要求学生手推距离公式，也不要求记住伪代码。

二、学情与易错点

学生第一次接触无监督学习，最大的认知障碍是「没有正确答案，那怎么知道分对了」。这一点必须在开头就正面回应，否则后面全程学生都在找那个不存在的标准答案。

四个高频误解，建议在对应环节当场点破：

误解	学生会怎么说	怎么破
以为聚类是分类	「机器怎么知道哪组是高薪组」	机器不知道。组的名字是我们看完结果自己起的
以为结果唯一	「再跑一次应该一样吧」	现场按「换一组初始中心」，让他们看到结果真的变了
以为 k 有标准答案	「到底分几类才对」	展示肘部图，说明这是权衡不是求解。这份数据最陡的弯在 k=2，学生按「找拐点」答 2 不是读错图，是肘部法则本身给不出唯一答案
忽略量纲	不会主动提	月薪是四位数、通勤是两位数，不归一化月薪会把通勤完全淹没

三、45 分钟版

时间	环节	老师做什么	学生做什么
0–5 分	抛问题	打开演示页，只显示灰色散点。提问：学校要给学生推荐实习企业，这 30 家你会怎么分堆	口头说分法，至少收集 3 种不同答案
5–10 分	承认没有标准答案	指出刚才 3 种分法都说得通。引出：机器也一样没有标准答案，它只能找一个「组内尽量紧凑」的分法	听
10–25 分	单步演示	按「下一步」，每按一次讲清这一步在干什么。前三轮每一步都停下提问	预测下一步质心会往哪挪
25–32 分	收敛与局部最优	按「自动跑完」。然后连按三次「换一组初始中心」	观察并记录三次结果的差异
32–40 分	k 怎么选	切换 k 为 2、4、5，对照右侧肘部图和它下面「每多分一类省下的距离」那一行。先讲清：按最优分法算，SSE 随 k 增大不会变大（肘部图是每个 k 重启多次取最好画的）；但单次随机初始化的运行可能陷入局部最优，不保证这一点。所以看的是省下的比例，不是谁最小	说出自己选几并给理由
40–45 分	落回业务	看右侧表格：近、薪资中等（21 到 24 分钟、5400 到 5800 元），远、薪资高（57 到 61 分钟、8000 到 8400 元），不远不近、薪资低（约 39 分钟、3500 元上下）。屏幕上的组号每次都可能换，认平均值不认编号。让学生给每一组起名字并提一条建议	给组命名，提建议

四、90 分钟版

前 45 分钟同上。后 45 分钟进入动手环节，四段与实验手册的任务一一对应：

时间	环节	学生做什么	老师做什么
46–60 分（15 分钟）	任务一：跑通	装好 Python，直接运行 code/kmeans_lab.py。此时两处 TODO 还没补，输出是 30 家全在第 1 组、第 2 组和第 3 组都是空组	说清这个错误输出是预期的，不是环境坏了。谁跑不出这一屏，问题在环境，趁这 15 分钟解决掉
61–75 分（15 分钟）	任务二：补全算法	补全 assign 与 update 两个函数，重新运行，看到第 5 轮收敛、SSE = 0.9468，三组分别是 9 家、10 家、11 家	对着手册「预期结果」那张表逐格核对。卡住的学生指到手册任务二的填空骨架，不必强求写成一行
76–85 分（10 分钟）	任务三：解释结果	给三组各起一个名字并说明依据，再把 K 改成 4 重跑一次，判断变好还是变差	提醒组号每次都可能换，认平均值不认编号
86–90 分（5 分钟）	汇报与互评	抽两到三组，每组一分钟讲分群结论；其余学生按评价量规打分	收评分表，点评一到两条

后半节合计 15 + 15 + 10 + 5 = 45 分钟，与前半节相加正好 90 分钟。

手册里的任务四（换一份数据）标的是选做，课上排不进去，留作课后作业：资源包已附第二份数据 data/interns_b.csv（另一批 28 家合作企业，表头与第一份相同），把代码里 CSV = ... 那一行的 interns.csv 改成 interns_b.csv 即可运行，预期结果写在手册里。教师若有本专业的真实数据，也可以在这一步换上去。

五、提问脚本

这些问题按顺序穿插在演示环节，每一个都对着屏幕上正在发生的事：

第一轮分配后问：为什么这几家连到了红色中心，而不是蓝色。期待学生回答「因为离得近」，此时追问「近是怎么算的，通勤差 10 分钟和月薪差 10 块，哪个算差得多」，引出量纲问题。页面右侧 SSE 下面那段说明写了它实际是怎么换算的（通勤按 0 到 80 分钟、月薪按 2500 到 9500 元，各自压到 0 到 1），可以直接指给学生看。

第一轮更新后问：中心为什么挪了，挪到哪去了。期待回答「挪到这一组的中间」。

第三轮时问：为什么换组的企业越来越少。引导学生自己说出「因为中心已经差不多在该在的位置了」。

收敛后问：现在这个结果是不是最好的结果。故意停顿，然后按「换一组初始中心」。

看表格时问：哪一组是「又近又高薪」的。让学生自己在表格里找，找不到就是答案：这批数据里没有这样的企业，算法不会凭空造一组出来。接着追问薪资最低那一组，通勤也要将近 40 分钟，为什么还留在合作名单里。

加点后问：这家企业正好在两组中间，它属于哪一组。引出边界样本的不确定性，以及为什么实际工作中不能只看聚类结果就下结论。

六、板书要点

黑板只写两行，全程保留：

分配：每个点找最近的中心。更新：每个中心挪到本组正中间。重复，直到没人换组。

右侧留一块空白，随课记录学生给三个组起的名字。

七、课后延伸

有余力的班级可以讨论：如果把「通勤时长」换成「学生满意度」，分群结果会不会变，为什么。这个问题指向特征选择，是下一节课的入口。

八、教师自查

上课前请自己先在教室电脑上打开演示页跑一遍，确认校园网能正常加载（AI 课件库只提供在线使用）。教室网络不稳定时，提前打开页面并保留一张各步骤的截图备用。

本资源包里的企业数据（演示页的 30 家、data/ 下的两份 csv）均为教学用合成数据，不对应任何真实单位，介绍数据时请向学生说明这一点。

一个真实问题

• 学校有 30 家岗位实习合作企业
• 要给不同的学生推荐不同的企业
• 你会怎么把它们分堆？

  先让学生口头回答，收集至少三种不同分法，不要评价对错。 开场说明一句：这 30 家是教学用合成数据，不对应任何真实单位。

三个人给了三种分法，谁对？

• 都对，也都不是唯一答案
• 这类问题没有标准答案
• 机器面对的是同一个处境

  这一页是整节课的关键转折，务必停顿几秒。

机器的办法：让每一组尽量「抱团」

• 它做不到「理解」企业
• 它只能让同组的点彼此靠近
• 目标：组内距离的平方和越小越好

  板书第一行可以在这里写下。

K-Means 只做两件事，反复做

• 分配：每个点找离它最近的中心
• 更新：每个中心挪到本组的正中间
• 重复，直到没有点再换组

  打开演示页，开始单步执行。

第一个坑：谁离谁近

• 通勤 12 分钟 vs 18 分钟，差 6
• 月薪 5200 元 vs 5600 元，差 400
• 不做处理，月薪会把通勤完全淹没
• 所以要先把两个量放到同一个尺度上

  这是学生自己想不到、但工作中一定会踩的坑。

第二个坑：结果不唯一

• 初始中心是随机放的
• 换一组初始中心，结果可能不同
• 现场连按三次给学生看
• 实际工作中：跑很多次，取最好的一次

  演示页的「换一组初始中心」按钮。

第三个坑：k 该选几

• k 没有标准答案
• 肘部图看的是：每多分一类，还能省下多少距离
• 这份数据最陡的弯在 k=2，但 2 到 3、3 到 4 都还在明显下降
• 肘部法则也给不出唯一答案，分 3 类和 4 类都说得通
• 最后要看哪一种分法在业务上讲得通

  现场切换 k=2/3/4/5 对照。学生看图说「应该是 2」是对的读图，不要否定，顺势讲这一页。

回到业务：这三组是什么

• 近、薪资中等：21 到 24 分钟、5400 到 5800 元，11 到 13 家
• 远、薪资高：57 到 61 分钟、8000 到 8400 元，8 到 10 家
• 不远不近、薪资低：约 39 分钟、3500 元上下，9 到 10 家
• 换一组初始中心：约四分之三的运行仍是这三组（边界上那几家换边、数字小幅浮动）；另约四分之一会陷进局部最优，十五到十八家并成一组，屏幕上就不是这三组了
• 组的名字是人起的，不是机器给的

  数据里没有「又近又高薪」那一组，学生多半会先去找它，找不到本身就是结论。第三组最值得追问：又不近、薪资又低，为什么还在合作名单里。屏幕上的组号每次都可能换，认平均值不认编号。让学生自己起名字，写在黑板右侧。

一句话总结

• 分配、更新、重复
• 没有标准答案，只有合不合用
• 算法给的是线索，不是结论

本实验约需 45 分钟，可在课堂后半段完成，也可作为课后作业。目标是让学生亲手跑通聚类，并对结果做出业务解释。

一、准备

需要 Python 3.8 以上环境。算法部分只用 Python 标准库，不装任何包也能跑出全部文字结果；只有最后画图要装一个包：

pip install matplotlib

实验刻意不用 scikit-learn。K-Means 只有二十来行，自己写一遍比调库更能理解那两步循环。附带的代码里已写好，学生只需补全其中两处。

数据文件 data/interns.csv 与演示页用的是同一份，共 30 行，三列：企业编号、单程通勤分钟数、实习月薪。同一个目录下还有一份 data/interns_b.csv，是另一批 28 家合作企业，表头与第一份完全一样，任务四会用到。

两份数据都是教学用合成数据，不对应任何真实单位，企业只用 E01 至 E30、F01 至 F28 这样的编号。

二、任务

任务一：跑通（15 分钟）

运行 code/kmeans_lab.py，观察输出。此时代码里有两处 TODO，程序不会崩，但会给出明显错误的结果：第 2 轮就「收敛」，30 家全在第 1 组，第 2 组和第 3 组都是空组。这是预期的，先确认环境能跑起来再动手改。

任务二：补全算法（15 分钟）

打开代码，补全两个函数：

assign(points, centers) 返回每个点归属的中心编号。提示：对每个点，算它到所有中心的距离，取最小的那个的下标。

update(points, labels, k) 返回新的中心坐标。提示：把属于同一个中心的点挑出来，求平均。

写得惯推导式的同学各写一行就行（min() 的 key 参数、列表推导式都用得上）。没把握的照下面的骨架填空，跑出来的结果一模一样，评分不看你用哪种写法：

```python

放进 assign 的 for 循环里，替换掉那行 best = 0（注意缩进对齐）

best = 0 # 先假定第 0 个中心最近 best_d = dist2(p, centers[0]) # 记下这个最近距离 for j in range(1, len(centers)): # 再看其余每个中心 d = dist2(p, centers[j]) if ____: # 填空：第 j 个中心更近吗 best, best_d = j, d # 更近就把它记下来

放进 update 的 for 循环里，替换掉那行 centers.append(mine[0])

mine 是分到第 j 组的所有点，每个点是 [通勤, 月薪] 两列

avg_x = sum(_ for p in mine) / len(mine) # 填空：点的第 0 列 avgy = sum(__ for p in mine) / len(mine) # 填空：点的第 1 列 centers.append([avg_x, avg_y]) ```

补全后重新运行，应当看到迭代过程逐轮打印，并在若干轮后收敛。

任务三：解释结果（10 分钟）

程序会输出每一组的企业数、平均月薪、平均通勤。回答三个问题：

给这三组各起一个名字，并说明依据。如果你是学生本人，你会优先选哪一组，为什么。把 k 改成 4，结果变得更好还是更差，你依据什么判断。

任务四：换数据（选做，5 分钟）

资源包附了第二份数据 data/interns_b.csv（另一批 28 家合作企业）。把代码里 CSV = os.path.join(HERE, "..", "data", "interns.csv") 这一行的 interns.csv 改成 interns_b.csv，其余一个字都不动，重新运行，对照下面「第二份数据的预期结果」。

行有余力的，再换成本专业的真实数据（例如不同岗位的招聘数据）跑一次。注意两点：新数据的表头要和代码里 load() 读的三个列名一致，否则会报 KeyError；如果两列量纲差别很大，必须保留代码里的归一化步骤，否则结果会被数值大的那一列主导。

三、预期结果

代码里 SEED = 42 是固定的，不动它，每个人跑出来都一样：第 5 轮收敛，组内距离平方和 SSE = 0.9468，三组是

程序输出	企业数	平均通勤	平均月薪	看完数据归纳出的组名
第 1 组	9 家	39.0 分钟	3500 元	不远不近、薪资低
第 2 组	10 家	57.0 分钟	8040 元	远、薪资高
第 3 组	11 家	20.8 分钟	5436 元	近、薪资中等

最后一列是人看完表格归纳的，程序只会打印「第 1 组、第 2 组、第 3 组」。换一组初始中心，同样的三类可能换个组号出现，所以认平均值，不认编号。另外注意：这三组里没有「又近又高薪」的一组，不是算法漏了，是这份数据里本来就没有这样的企业。

把 SEED 改成 None 再跑十几次：大约一半的次数正好是上表这个结果；约四分之一会分成 12、9、9 家或 13、9、8 家，三组的性质一样，只是边界上那几家换了边；另有约四分之一会停在一个明显更差的分法上，十五到十八家挤成一组，SSE 涨到 1.4 左右。最后这种不是代码错了，是 K-Means 陷入了局部最优，正是任务三要讨论的现象。收敛轮数多在 3 到 6 轮之间。

教师参考结果（本资源包数据与参考答案代码复算，2026-10-01）：

数据	SEED	K	SSE
interns.csv	42	3	0.9468
interns.csv	42	4	0.8441
interns.csv	45	3	0.9268
interns.csv	45	4	1.3366
interns_b.csv	42	3	0.3943
interns_b.csv	42	4	0.3211

SEED = 45 这两行是一个现成的反例：同一份数据，K 从 3 加到 4，单次运行的 SSE 反而变大，因为 K=4 那次停在了局部最优。「K 越大 SSE 越小」只对最优分法（或多次初始化取最好）成立，不是单次运行的保证。学生跑出这种反弹，应肯定其观察。

演示页上同一次分群显示的 SSE 是 0.588，和这里的 0.9468 对不上，这是正常的：两边都在算距离前做了归一化，但用的区间不同。演示页固定按通勤 0 到 80 分钟、月薪 2500 到 9500 元换算，这份代码按 interns.csv 里的最小值和最大值换算。SSE 的绝对大小只在同一套换算下才可比。这份数据上两种换算恰好分出同样的组，这不是普遍规律：换算区间不同，各列的相对权重就不同，换一份数据分组可能不一样。

如果你的结果和同学差别很大，这不是错误，请记录下来在任务三里讨论。

第二份数据的预期结果

任务四换成 data/interns_b.csv 之后，SEED 仍是 42、K 仍是 3：第 5 轮收敛，SSE = 0.3943，三组是

程序输出	企业数	平均通勤	平均月薪	看完数据归纳出的组名
第 1 组	9 家	15.9 分钟	8256 元	近、薪资高
第 2 组	9 家	37.1 分钟	3422 元	不远不近、薪资低
第 3 组	10 家	59.0 分钟	5640 元	远、薪资中等

这份数据最值得对照的是第 1 组：第一份数据里没有「又近又高薪」的企业，这一份里有。同一段代码，一次没造出这样的组，一次找了出来，说明算法只反映数据本身，既不会凭空造组，也不会漏掉真的存在的组。

再把 K 改成 4 重跑（SEED 仍是 42）：程序只是把第 1 组劈成 5 家和 4 家两半，SSE 从 0.3943 降到 0.3211，多分一类只省下不到两成，所以这份数据分 3 类就够了。把 SEED 改成 None 跑十几次，约四分之三是上表这个结果，其余多数停在「19 家挤成一组」的局部最优（SSE 1.5 左右），和第一份数据是同一个现象。

四、常见报错

现象	原因	怎么办
末尾打印「（画图跳过：No module named 'matplotlib'。文字结果不受影响）」	没装 matplotlib	只看文字结果可以不装；要出图就执行上面的 pip 命令
IndexError: list index out of range	assign 返回的下标超出了中心个数	检查是否把点的下标当成了中心的下标
结果里有空组，程序崩溃	某个中心一个点都没分到，求平均时除以了零	代码里已有保护分支，确认没被删掉
每次运行结果完全一样	随机种子被固定了	这是代码里 SEED 的作用，想看随机性把它设为 None
分出来的组沿着月薪一刀切，通勤完全没起作用	删掉或跳过了归一化	恢复 normalize 的调用
FileNotFoundError: ... interns_b.csv	换数据时文件名写错，或文件不在 data/ 目录下	确认 data/ 里确有这个文件，文件名的大小写和下划线都要一致
KeyError: '企业编号'	换成了自己的数据，但表头与代码里 load() 读的三个列名对不上	把新数据的表头改成「企业编号,单程通勤分钟,实习月薪元」，或者改 load() 里对应的列名
中文图例显示成方框	matplotlib 默认字体不含中文	代码里已设 SimHei，若系统无此字体可改成 Arial Unicode MS 或直接看文字输出

五、提交什么

提交一份不超过一页的说明，包含：补全后的两个函数代码、程序输出截图、任务三的三个回答。评分依据见配套的评价量规。

本习题配套「K-Means 聚类」资源包，可整体作为随堂测验，也可拆成单题进入期末题库。每题后附评分要点，供教师与互评使用。

题面与演示页里的企业均为教学用合成数据，不对应任何真实单位。

一、概念题

1. 用不超过 50 字说明 K-Means 的两个步骤。

评分要点：答出「把点分给最近的中心」与「把中心挪到本组平均位置」两层，并体现「反复进行」。只答其中一步给一半分。

2. 有同学说「聚类就是分类，只是不用人标注」。这句话哪里不对？

评分要点：关键在于分类有预先定义好的类别，而聚类的组在算完之前并不存在，组的含义是人事后赋予的。能指出这一点即可给满分。

3. 为什么同一份数据、同一个 k，两次运行可能得到不同结果？

评分要点：初始中心随机。能进一步提到「会陷入局部最优，实际会多跑几次取最好」的给附加分。

二、应用题

4. 下面是某校五家实习企业的数据。若 k 取 2，且初始中心分别落在 A 和 E 上，请写出第一轮分配的结果。

企业	通勤（分钟）	月薪（元）
A	10	5000
B	15	5200
C	60	8500
D	55	8000
E	65	8800

评分要点：A、B 归到 A 组，C、D、E 归到 E 组。注意：本题两列量纲差异极大，若学生直接用原始数值算欧氏距离，月薪会主导结果。本题数据恰好让「归一化」与「不归一化」两种算法第一轮分配相同，这只是这五个点的巧合，不能推广：距离缩放会改变各特征的权重，一般情况下分组会不同。学生若主动指出量纲问题，给附加分。

5. 某老师把 k 从 3 一路调到 10，发现 SSE 一直在下降，于是认为 k 取 10 最好。请指出问题。

评分要点：固定数据和距离定义时，按最优分法算，SSE 随 k 增大不会变大，极端情况下每个点自成一组时 SSE 为零，但这样的分组没有任何业务意义。要区分三种 SSE：理论最优值、多次初始化取最好的值、一次运行的值 —— 只有前两种大体满足「k 越大越小」，一次运行可能陷入局部最优（例如本资源包 interns.csv、SEED = 45 时，k=3 的 SSE 是 0.9268，k=4 反而是 1.3366）。学生若因单次运行出现反弹而质疑「单调下降」，应判为正确。判断 k 要看每多分一类还能省下多少（下降比例），以及每一组在业务上讲不讲得通。能进一步指出「肘部不一定只有一个、也不一定明显」的给附加分：资源包演示页这份数据，图上最陡的弯在 k=2，按下降比例看 3 类和 4 类又都说得通，最后靠业务含义定。

6. 如果把「通勤时长」这一列换成「企业成立年份」，分群结果会有什么变化？这样做合适吗？

评分要点：开放题。合理的回答应当指出：特征选择决定了「相似」的含义，成立年份与学生选择实习企业的关切无关，分出来的组无法指导推荐。能说明「特征要服务于目的」即可。

三、综合题

7. 学校想把这次聚类结果用于自动给学生推荐实习企业。请列出至少三条你认为必须先解决的问题。

评分要点：开放题，按条给分。合理方向包括：边界企业归属不稳定，直接用于推荐会造成同一家企业不同批次归类不同；组的含义由人解释，需要教师复核；只用两个特征不足以描述企业，还应考虑专业对口度与转正率；推荐涉及学生个人选择，不应由算法单方面决定。

8.（实践）用资源包里的演示页，任选一个位置添加一家新企业，连续三次「换一组初始中心」，每次都等它自动跑到收敛。三次分别记下：和这家新企业同组的有哪几家企业、这一组的平均通勤与平均月薪是多少。用这个结果说明一个你在课上学到的结论。

注意不要用「第几组」来记录。屏幕上的组号每次重跑都会重排，同样的一组企业这次叫第 1 组、下次可能叫第 3 组，编号变了并不说明这家企业换了组。

评分要点：要求给出三次的实际记录，且记的是同组企业或该组平均值，不是组号。若三次的同组企业基本一样，正确结论是「初始中心不同，多数时候仍收敛到同一种分法，变的只是组号」；若某次同组企业明显不同（例如出现十五到十八家挤成一组），正确结论是「初始值影响结果，K-Means 会陷入局部最优」；若新企业正好加在两组中间、三次归属确实来回变，可答「边界样本归属不稳定」。关键看是否用自己的观察数据支撑，把组号的变化当成归属变化的不给分。

本量规用于「K-Means 聚类」实验与汇报环节的过程性评价，可直接用于课堂互评，也可作为 AI 教改课题的过程性评价证据留存。

四个维度各 25 分，合计 100 分。建议教师评与学生互评各占一半。

维度一：算法理解（25 分）

等级	分值	表现描述
优秀	22–25	能用自己的语言准确说清两步循环，并主动解释为何会收敛
良好	17–21	能说清两个步骤，对收敛原因表述不完整
合格	13–16	能复述步骤名称，解释时有明显混淆
待改进	0–12	把聚类与分类混为一谈，或无法说出算法在做什么

维度二：动手完成（25 分）

等级	分值	表现描述
优秀	22–25	独立补全两个函数并跑通，遇到报错能自行定位解决
良好	17–21	补全并跑通，其中一处经提示后完成
合格	13–16	在同学或教师协助下跑通，能说明代码在做什么
待改进	0–12	未跑通，且无法说明卡在哪一步

维度三：结果解释（25 分）

等级	分值	表现描述
优秀	22–25	给每组起的名字贴合数据特征，推荐建议具体且有依据
良好	17–21	组名合理，建议偏笼统
合格	13–16	能读出每组的数值差别，但未落到业务含义
待改进	0–12	只复述程序输出的数字

维度四：批判性认识（25 分）

等级	分值	表现描述
优秀	22–25	主动指出结果不唯一、边界样本不稳定或特征选择的局限，并有自己观察到的证据（证据认同组企业或该组平均值；只举出组号变了不算证据，组号每次重跑都会重排）
良好	17–21	能在提示下说出至少一项局限
合格	13–16	知道结果会变，但说不清原因
待改进	0–12	认为算法输出即正确答案

用作课题证据时

若本节课用于 AI 教学改革课题的过程性材料，建议随堂留存四样东西：本量规的评分表原件、学生提交的实验说明、课堂照片或录屏、教师的一段教学反思（不少于 200 字，写清这节课哪个环节学生反应最强烈、下次会怎么改）。

这四样合起来即可作为「AI 工具进入课堂并产生学生可见产出」的完整证据链。